Мысыр Бөлшек

Ерекше Пост http://math.ucr.edu/home/baez/egyptian.html

Архимедова разбиения және мысыр бөлшек

Джон Баэз

Feb 5, 2012

Содан бастап менің бала, менің ұнады Архимедова разбиения жазықтықта: яғни, разбиения дұрыс многоугольники барлық ұзындығы бойынша қабырғаларының бірдей және әрбір шыңы көрінеді бірдей. Міне, менің сүйікті:

Сондай-ақ бар 11 адам, олардың ішінде екеуі зеркальными отражениями бір-бірін. Бірақ біз қайдан білеміз? Қалай аударуға, олардың барлық көз жеткізіңіз мұнымен біздің?

Ішкі бұрышының тұрақты \( k\)-бұрыштама-бұл анық
\[ \displaystyle{\pi – \frac{2 \pi}{k}} \]
өйткені ол сәл аз, 180 градус немесе \( \pi,\) және қанша? — жақсы, \( 1/k\) рет толық айналым, немесе \( 2 \pi.\) Бірақ бұл \( \pi\)’ы болуда тітіркендіреді: оңай “деп айтуға толық бұрылу”, әлдеқайда \( 2\pi.\) Сол кезде айта аламыз интерьер бұрышы
\[ \displaystyle{\frac{1}{2} – \frac{1}{k}} \]
рет толық айналымы.

Енді болжаймыз, не біз Архимед парақ, \( n\) полигондарын жауап береді: бір \( k_1\) тараптар бір \( k_2\) тараптардың тағы бір отырып, \( k_n\) sides. жақтарында. Олардың ішкі бұрыштары болуы тиіс қосу толық бұрылу. Сонымен, бізде
\[ \displaystyle{\left(\frac{1}{2} – \frac{1}{k_1}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{k_n}\right) = 1 } \]
немесе
\[ \displaystyle{\frac{n}{2} – \frac{1}{k_1} – \cdots – \frac{1}{k_n} = 1} \]
немесе
\[ \displaystyle{ \frac{1}{k_1} + \cdots + \frac{1}{k_n} = \frac{n}{2} – 1 } \]
Сонымен: алу үшін Архимед парақ керек n бүтін сандарды азайтуды, кері қосу дейін бір кем n/2.

Ищу сандардың осындай ан математикалық басқатырғыштар. Египтяне жақсы көретін жазу санының сомасы түрінде кері, сондықтан олар бұл ойынды ләззат алады, егер олар білген. Тас төсеу көрсеттім сізге келеді мұндай шешім:
\[ \displaystyle{\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{2} – 1 } \]
өйткені ол 3 многоугольников, тоғысатын әр қияға: в 4-х сторонняя, 6-гранная және 12-sided.

Міне тағы бір шешім:

\[ \displaystyle{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{4}{2} – 1 } \]
Бұл бізге бұл плитка:

Мұнысы, енді менің ойымша, бұл бір менің сүйікті, себебі менің көз көреді, оның сборище байланысты 12 гранных полигондарын, бірақ сауыт. Әр түрлі паркетов мәжбүрлейді көздің қозғалу олардың үстінде әртүрлі, және ол өте жағымды әсер етеді.

Міне тағы бір шешім:
\[ \displaystyle{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{2} – 1 } \]
Бұл екі Архимедовых паркетов болып табылатын зеркальными отражениями бір-бірін!

Әрине, сіз посчитать олардың екі түрлі Архимед паркетов немесе жай ғана бір байланысты қандай ережелерді өзіңіз. Мен айтпақшы, адамдар, әдетте, дейді парақ болып табылады Архимедовым, егер барлық полигондар сияқты бұл:

Олар оның орнына, оны айтуға үнемі. Егер қазіргі заманғы математика изобретали бұл тақырып, біз деп тұрақты разбиения болып табылады жеке жағдайы Архимед паркетов — бұл математика-бұл барлық өте ескі, сонда математиктер қатысты болған ерекше жағдайларда, өйткені жоқ, жалпы жағдайда. Мысалы, гректер тіпті деп санайды емес, нөмірі 1 бірқатар!

Міне қызықты басқатырғыштар: жіктеу Архимедовых паркетов! Бастау үшін, табу керек барлық тәсілдері алу үшін \( n\) бүтін сандарды азайтуды, кері қосу дейін бір кем \( n/2\). Естіледі аяусыз, бірақ, бақытымызға орай, әлбетте,
\[ n \le 6\]
өйткені, тең қабырғалы үшбұрыш бар ең төменгі ішкі бұрышы кез келген дұрыс көпбұрыш, және сіз қоюға болады тек оның 6-айналасында шыңдары. Егер сәл ойланып, сіз көресіз порезы басқатырғыштар дейін төмен түпкі іздеу.

Бірақ сіз абай болу керек, өйткені кейбір шешімдеріне енгізілетін бермейді Архимедова разбиения. Әдетте, саны 5 себебі. Бізде
\[ \displaystyle{ \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{2} – 1 }\]
бірақ, ешқандай тәсілі жоқ, замостить жазықтық, сондықтан 2 кәдімгі пятиугольники және 1 тұрақты decagon кездестіруге әр қияға! Кеплер ұқсайды тырысты; міне, фотосурет, оның кітаптар Harmonices mundi, олар:

Ол тамаша жұмыс істейді, бір болашақ ” емес, замощения бүкіл жазықтықта. Құтқару үшін ереже, оған тура қосу бірнеше жұлдыздар, және кейбір decagons өтейді! “Ислам парақ суретшілер, және кейіннен Пенроуз, бардым қарай тағы да осы бағытта.

Егер сіз кептеліп осы жұмбақ табуға болады? мындасыз:

• Krížek Michał, Якуб Šolc, Алена Šolcová, бар кристалл торы иелене отырып, бес есе симметрией?, АПП аңғармай 59 (қаңтар, 2012), 22-30.

Комбинациясы дұрыс көпбұрыштар нысанындағы, мүмкін кездесуге шыңына, Уикипедия, қазақша ашық энциклопедия.

Жеткілікті емес пе?

Қысқасы, барлық Архимедова разбиения жазықтықта пайда болады іздеу \( n\) бүтін сандарды азайтуды, кері шамалар сомасы \( n/2 – 1.\) Бірақ не істеу керек, егер жалпы аз ба? Қапа болуымыз емес: сіз әлі ала алады тас төсеу гиперболической жазықтықта. Мысалы,
\[ \displaystyle{ \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} < \frac{3}{2} – 1 }\]
сондықтан сіз қоюға арналған тақтайша жазықтығы, 3-конференц-семиугольников әр бұрышында… бірақ сіз бәрібір алыңыз разбиения гиперболической жазықтықта:

ол көрсетеді, байланысты тамаша нәрсе деп аталады Кляйн квартику Қисық.

Сіз әрқашан өтінішті формасын… бірақ кейде бұл, сондай-ақ ойын тұр ойнауға. Мысалы,
\[ \displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} < \frac{6}{2} – 1 }\]
сондықтан сіз сіздің мүмкіндік “тас төсеу гиперболической жазықтықта, онда бес равносторонних үшбұрыштар және шаршының) кездеседі, әр қияға. Бұл жағдайда, сіз әкеле бойынша-ірі:

Үшін астам әдемі суреттер, қараңыз:

Біркелкі паркетов ” гиперболической жазықтықта, Уикипедия, қазақша ашық энциклопедия.

• Қалдырмаңыз Люк, Гиперболические tesselations.

Тым көп пе?

Осыған ұқсас, егер сенде \( n\) кері шамасын қалыптасып отырған да көп қарағанда \( n/2 -1\), сізде мүмкіндік бар замощения сала. Мысалы,
\[ \displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} > \frac{5}{2} – 1 }\]
және бұл жағдайда бізге әкеле алады курносый додекаэдр. Менің ойымша, бұл өрескел курносый додекаэдр, бірақ шамасы жоқ:

Бұл изразцы саласының техникалық деп аталатын Архимедовых тел (егер барлық полигондар бірдей)Платоновы дене. Оның ішінде тек курносый додекаэдр және “курносый куб” айырмашылығы айна суреттер.

Одан навороченные заттар

Қысқасы, қосу кері бүтін сандарды байланысты Архимедова разбиения жазықтық, сфера және гиперболической жазықтықта. Бірақ ол сондай-ақ ретінде египтяне жеңімпаздар фракцияларын! Шын мәнінде, олар, тіпті, талап етті, барлық кері болуы мүмкін әр түрлі, сондықтан оның орнына жаза ретінде 2/3 as \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\), олар еді жазыңыз \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6}.\)

Бұл паршивая жүйесі — сөзсіз, сондықтан Даңғазалары қайтыс болды осындай жас. Бірақ ұмытып, шектеу, бұл кері болуы мүмкін әр түрлі: бұл ақымақтық. Егер сіз екенін көрсету үшін әрбір \( n > 1\) Саны \( 4/n\) жазылуы мүмкін ретінде \( 1/a + 1/b + 1/c\) үшін бүтін сандар \( a,b,c,\) сіз боласыз ұмтылады! Әлі күнге дейін адамдар ‘тек’ көрсетілгендей, бұл дұрыс үшін \( n\) жүзге триллион:

Эрдеша–түйеқұс догадках, Уикипедия, қазақша ашық энциклопедия.

Сондықтан, қараңыз, егер сіз жақсы жасай аласыз! Бірақ қауырт мүмкін болу үшін көп білу мысырлық бөлшектерді мындасыз:

• Джон Баэз, 42.

Және көрсетілген атауында, бұл фокусталады ерекше магией, осыдан туындайтын теңдеулер:

\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{42} = 1 \]
Алайда, соңына қарай бар нәрсе туралы мысырлық бөлшектерді жалпы, өзінше жалғастыру міне, осы беттен.

Содан кейін, сіз туралы оқып мысырлық фракциялары, паркетов мен ЭЙД жіктелімдер мындасыз:

• Джон Баэз, табылған заттар осы аптаның математикалық физика (апта 182).

Бұл ғана түседі ‘Платоническая’ немесе ‘үнемі’ паркетов емес, жалпы ‘Архимед’ немесе ‘полурегулярных’ айтамын про бүгін — бұл арифметика жұмыс істейді сәл басқаша.

Басқа бағытта, менің әріптесім Джули Бергнер туралы әңгімелеп берді, олар мысыр бөлшек зерделеу ‘группоид элементтерінің саны':

• Джули Бергнер, Группоидов және мысырлық бөлшектер.

Сонымен, әзірге ешкім пайдаланады мысыр бөлшек әлдеқайда көп, олар түрі жуткий загробный мир. Үшін артық деп египтяне шын мәнінде жасады, көріңіз бұл:

• Рон Нотт, мысыр бөлшек.

Мысыр бөлшек, Уикипедия, қазақша ашық энциклопедия.

\( \frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{2} – 1 \)

Текст © 2013 Джон Баэз
Сурет тиесілі, оларды кім жасады.
baez@math.removethis.ucr.andthis.edu

үйге

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>